Logaritmo complesso

Grafico del logaritmo complesso. L'altezza descrive la parte immaginaria del logaritmo, mentre l'angolo è determinato dal colore.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

$y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .$

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

$w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,$

con l'unica condizione $z\neq 0$. Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per $\ln(z)$. Scrivendo $z$ in forma esponenziale

$z=\rho e^{i\theta },$

segue che

$\rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},$

dove $u$ e $v$ rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita $\ln(z)$. Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano $u$ e $v$:

$|z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|$

$e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)$

Si può quindi scrivere

$\ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).$

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che $\arg(z)$ contiene tutti i numeri del tipo $\theta +2k\pi$, con $k\in \mathbb {Z} .$ Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso

Ricordando l'Identità di Eulero: $e^{i\pi }=-1$, è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di $\pi$: applicando il logaritmo si ha infatti:

$\ln(e^{i\pi })=\ln(-1)$

$i\pi =\ln(-1)$

$\pi ={\frac {\ln(-1)}{i}}$

$\pi =-i\ln(-1).$

Il numero trascendente $\pi$ è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a $-1$:

$\ln(-1)=\ln \vert -1\vert +i\!{\text{ arg}}(-1)=\ln 1+i\pi =0+i\pi =i\pi$

e si ricava nuovamente

${\frac {\ln(-1)}{i}}=\pi .$

Logaritmo principale

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

${\text{Ln}}(z)=\ln |z|+i\arg(z){\mbox{ con }}-\pi <\arg(z)\leq \pi .$

Il Logaritmo principale è analitico su tutto $\mathbb {C}$ escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a $2\pi$).

Voci correlate

• Logaritmo
• Esponenziale complesso
• Funzione di variabile complessa
• Funzione polidroma